引言

近日，中国科学院物理研究所/北京凝聚态物理国家研究中心的研究组发展出了一套自动计算材料拓扑性质的新方法，在近4万种材料中发现了8千余种拓扑材料，十几倍于过去十几年间人们找到的拓扑材料的总和，并据此建立了拓扑电子材料的在线数据库。国际学术刊物《自然》于今天在线发表了该成果。什么是拓扑材料？它们有什么用处？所谓“新方法”何以一下找到了如此多的新拓扑材料？本文将回答这些问题，让您一窥这一新工作背后的门道。

拓扑材料是什么

拓扑学是数学的重要分支，它的研究对象是在连续的形变下空间的不变性。比如，一个物体上面有多少洞（是指贯穿前后的洞，不是坑），这个洞的数目就是在连续形变下的一个不变量。因为具有相同的“洞数”（学名是“欧拉数”），一个有把儿的茶杯可以连续地变成一个游泳圈，而不可以连续地变成一个球。在上世纪80年代对量子霍尔效应态的研究中，人们认识到，就像几何形体一样，固体中电子的波函数也具有这样的“拓扑不变量”，称为“陈数”（因数学家陈省身得名）；对于量子霍尔效应态而言，陈数直接对应了量子化的霍尔电导。由于电子的波函数生活在无穷维的希尔伯特空间，我们无法像欧拉数那样直观地去理解陈数，但是它们之间确实有一些共性。首先，它们都是分立取值的：我们无法想象有1.5个洞的形状，也不存在陈数为分数的电子波函数；再者，它们在连续形变下都是不变的：量子化的霍尔电导对外界的扰动是如此稳定，以至于可以用它来校准欧姆这个国际单位。

对于电子波函数中的拓扑，下一次认识的飞跃出现在年前后。在一系列理论工作中，人们意识到，除了陈数之外，对称性可以带来新的拓扑不变量。具有这些新的拓扑不变量的绝缘体，后来被称为“拓扑绝缘体”。我们拿几何形状做类比，如果说人们之前所理解的简单绝缘体是一个球的话，拓扑绝缘体就是游泳圈（有一个洞）。而带给我们这个新的拓扑不变量的对称性，是时间反演不变性（时间反演不变性等同于要求体系没有磁性，也没有外加磁场）。拓扑绝缘体被发现没多久，人们就意识到，“时间反演不变性能够带来新的拓扑不变量”这一事实，不过是一大类普遍现象的冰山一角：对于几乎任何常见的对称性，比如晶体中的平移、镜面反射、旋转……都有可能存在其对应的新的拓扑不变量。寻找自然界中新的拓扑不变量，以及具备了这些拓扑不变量的材料，是过去十几年中凝聚态物理研究中的热点问题。

图1：知名的一些拓扑材料。（a）量子反常霍尔效应态也叫陈绝缘体。其特点是霍尔电导的值为e2/h的整数倍，同时边界上有一个或数个单向行走的边界态，它们被称为手性边界态。量子反常霍尔效应在磁性原子掺杂的三硒化二铋薄膜中的发现，引起了国际学术界的轰动，该系列成果还荣获了年度国家自然科学一等奖。（b）外尔半金属。其特点是材料体内的费米面由一系列“外尔点”（红色和蓝色的点）组成，每个外尔点都是贝里曲率的奇异点，可以带来“量子反常”、“表面费米弧”等物理效应。外尔半金属在砷化钽体系中的理论、实验发现，被美国物理学会评选为年来该学会旗下杂志发表的49项重要成果之一。

拓扑材料的应用

认识到电子的波函数可能具有某种特殊的拓扑结构，固然是物理理论的一大进展，但是跟我们的实际生活有多大联系呢？一般认为，拓扑材料的边界态具有“背散射通道禁闭”等特点，可以用来制作超低能耗的电子元件；有人在利用拓扑材料边界态电子的“动量-自旋锁合”的特点设计自旋电子器件；还有人设想利用拓扑超导体边界的“马约拉那零模式”来设计量子比特等等……因此，研究拓扑材料，或者说具有非零的拓扑不变量的材料，具有基础科学和应用技术的双重意义。

前期的理论工作

要研究拓扑材料，第一步就是要将它们从浩如烟海的化合物中寻找出来。究竟具有什么样的化学式，拥有哪样的晶体结构的材料，才会有非零的拓扑不变量呢？这个问题长期困扰着领域内的科学家。从原理上讲，拓扑不变量的信息已经包含在了所有价带的电子波函数中，而后者可以用第一性原理计算的方法得到。但在实际操作中，由于某些拓扑不变量的表达式非常繁难，此类计算需要具有深厚材料物理和拓扑物理学背景的专家，同时也会耗费大量的时间。事实上，每一类新的拓扑材料的成功预言，都在领域内引起了广泛

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