撰文

不周

审校

栗子、二七

如果说楼上有个邻居突然开始学乐器，我想绝大多数人都希望他学的不是二胡和小提琴。毕竟这两种乐器入门阶段发出的声音实在称不上美妙，更不用说有些人入门总是特别的漫长。二胡和小提琴都是依靠拉动琴弓摩擦琴弦，使之震动而发声，这与钢锯拉扯摩擦，从而锯断木头的过程十分相像。因此，我们经常会用“锯木头”来比喻两种乐器不够优美的声音。

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但实际上，钢锯本身也是一种乐器，配上一把琴弓，这个带给我们无数噩梦的钢片，就会摇身一变，化身为锯琴（singingsaw）。

乍看之下，锯琴的演奏方式与二胡有些相似，都需要将乐器的底部放在腿上。锯琴演奏者可以用双膝夹住锯的把手，然后一只手控制音高，另一只手拉动琴弓发声。与钢锯摩擦其他物品时发出的声音截然不同，锯琴的琴声悠长而空灵，听起来还有些像女高声。然而锯琴的特殊之处却不仅仅在于材料和音色。

声音是由物体振动产生，音高则取决于振动的频率。而几乎所有我们熟知的乐器，都是通过调整发声器件的长度，从而调整振动频率来控制音调高低的。比如古筝、提琴、吉他等弦乐器是通过调节琴弦的长短控制音高；长笛、单簧管等管乐器，则是通过按键调节空气柱的长短；一些具有固定音高的打击乐器，比如编钟，就是通过钟体大小来决定音高。

图片来源：原论文

然而，锯琴既没有琴弦也没有琴键，更不会有体积上的变化。那么如何能控制它的音调呢？这块薄薄的金属片，它调整音调的方式就是通过弯曲琴身，改变形状。如果从侧面看锯琴，很明显它是一条直线。当这条线发生几何形变，弯曲成S形时，会出现一个拐点，被音乐家称为“甜蜜点”（sweetspot）。在甜蜜点处敲击或用琴弓拉奏，会使锯琴发出清晰、能持续很久且具有特定音高的声音。而调节S的形态，就能改变锯琴的音调。这一奇特的声学特性引发了科学家强烈的好奇。今年发表在美国科学院院刊（PNAS）的一项研究中，美国哈佛大学物理系的研究人员揭示了锯琴发声背后独特的数学物理特性。

如何发出美妙的声音？

当我们敲击一块弹性连续介质，比如一块金属片时，振动会从敲击点开始，快速扩散到整个介质一起发生振动，而后快速消散。这个过程很像是在水中扔下一块石子，当石子触碰到水面后，它激起的水的振动会随着涟漪一圈圈扩散到远处，直至消失。因此当钢锯平放或弯曲成J形时，敲击它或者用琴弓拉奏，都会导致整个钢片一起振动，声音沉闷而短暂。

锯琴只有在弯曲成S形，才会出现甜蜜点（sweetspot）。图片来源：原论文

然而神奇的是，当锯琴弯曲成S形时，一切都不一样了，甜蜜点处发生的振动持久而稳定。这意味着，振动并没有像之前一样扩散到整个钢锯，而是只发生在甜蜜点局部。锯琴此时的振动模式就像是，将石子扔进水里之后，整个水面只有石子入水点附近有波纹，波纹并没有扩散到周围，如此奇怪。

研究人员通过实验发现，如果在远离甜蜜点的地方拉奏或敲击，或者演奏时将形状改变为J形，锯琴的声音都会迅速地消失。而不管锯琴弯曲的几何形状如何，顶部曲度大一些或者小一些都不重要，只要它是S形，能够出现曲率反转的甜蜜点，就能发生稳定而持久的局部振动模式。

我们知道，当一个面的曲率增长时，其结构强度也会随之提升，比如我们想优雅地吃到一块披萨的尖，就需要沿中轴线弯折它，这样披萨尖部才不会软塌塌地垂下去。而弯成S的锯琴，上下两个弯的曲率也都会起到类似的结构增强作用。由于曲率发生反转，甜蜜点附近的曲率基本为零，这意味着此处平坦而柔软，更容易发生振动。而一旦远离甜蜜点，就会进入受曲率影响、不易发生振动的部分。这导致振动只发生在曲率为零的局部，不会扩散到弯曲的部分，从而避免沿边缘耗散衰减，损失大部分能量，振动也因此能更加持久。

高质量的谐振器

锯琴的局部振动模式看起来很像是受到周围弯曲结构保护的状态。如果用数学来描述的话，局部振动依赖于变化曲率的空间，并在空间曲率的拐点处，也就是曲率边缘获得了拓扑保护。而振动对于S的具体形状丝毫不敏感的特性，也验证了局部振动受到拓扑保护。这些都让研究人员联想到了一种内部绝缘而边缘导电的特殊量子材料，拓扑绝缘体（topologicalinsulators）。拓扑绝缘体无论怎样分割，或者存在缺陷、杂质甚至外界刺激，都不会影响它内部绝缘、边缘导电的特性，而这正是拓扑保护的结果。

而锯琴中曲率为零的甜蜜点，本质上就和拓扑绝缘体中受拓扑保护的边缘态类似，它充当了S形钢片上下两个弯曲部分的边缘，只不过这个奇特的边缘出现在了钢片的内部。这揭示了锯琴局部振动模式的几何特征，而这其实与振动源、振动体的规模和材料都毫无关联。因此它也同样能适用于其他任何弹性连续介质材料，比如原子级厚度的石墨烯。

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由于受到了拓扑保护，锯琴的局部振动模式在没有持续的能量来源时，依然能持续振动很长时间，而能量几乎只会耗散到周围的环境中。因此这种几何特征，也可以应用到高质量振荡器的设计中。一些每秒振荡数亿次的微机械振荡器常常被用作定时器，通常我们既不想它消耗太多的能量，又希望它振荡的频率尽可能保持恒定，所以将振荡隔离保护起来就显得尤为重要。这项研究正说明，与其不断尝试各种材料，不如通过调控几何形状，来实现更高质量的振荡。

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