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撰稿

陈泽国，马冠聪

导读

通常情况下，波无孔不入四处乱窜。人们早就学会利用波作为能量和信息的载体。但是我们有时候也需要将波在空间上限制住以作它用，比如用共振腔来做激光。因此，波的操控，是个长盛不衰的研究方向。近日，香港浸会大学物理学院马冠聪课题组通过研究四维空间拓扑展示了一种将波局域化的新方案。相关研究成果以“AcousticRealizationofaFour-DimensionalHigher-OrderChernInsulatorandBoundary-ModesEngineering”为题，发表在国际物理学期刊PhysicalReviewX上。论文一作是陈泽国博士，朱伟伟博士、谭杨、王立诚也做了重要贡献。

研究背景

看着唬人，说穿了无非就是灌水。

不过灌水前，还是先介绍一下背景吧。

微分拓扑本来是个数学分支，研究矢量场连续变化下不变的性质。拓扑学在能带论中有巨大的应用，因为人们发现能带结构可以用不同的拓扑不变量分类。在具有不同拓扑的d维绝缘体的界面中，可能存在着拓扑保护的d-n维边界态。比如在陈绝缘体(Cherninsulator,CI)中，体边一致性保护的是n=1情形的无能隙边界态。近来研究人员提出高阶拓扑绝缘体（HOTI）的概念，在某些系统存在某种分类的体拓扑，保护n1情形的边界态。在之前的HOTI中，体拓扑是通过某种晶格对称性保护下的量子化的极化来描述的，这种晶格对称性保护的拓扑态并不能保护d-n维边界态的能量。在实际应用中，比如在光子声子HOTI中，d-n维边界态的能量往往取决于具体的样品以及边界。

创新研究

鉴于此，研究人员提出一个新的兼具CI和HOTI特征的系统。该研究利用两个合成维度()构建一个四维系统，如图1所示。其紧束缚模型可以用声学腔管模型来实现，如图1(a,d)。那么合成维度如何实现呢？

本工作的重头戏来了：

灌水

吨吨吨吨吨……

往各个声学腔中灌入通过合成维度参数化定量的水，就可以方便地调节其体积，从而对每个腔地在位共振频率进行有效操控。这样，二维参数空间()就得以在声学腔管系统中实现。再综合二维波矢空间()，整个系统便有四个独立的维度。

图1.二维高度可控声学腔阵列构成的四维系统。

该系统实现了一种全新的受第二陈数保护的4-1维超界面态与受两个第一陈数保护的4-2维表面态。对于给定参数坐标的()，这些态在二维空间上分别表现为一维和零维的边界态，如图（2）所示。

图2.在参数空间坐标下，系统的体态与无能隙边界态。

由于其零维态具有参数空间坐标的特征，因此可以通过调节其在参数空间坐标的位置来调控角态的能量，比如可以实现连续体态中的束缚态，见图（3）。与之前笔者研究的声子晶体HOTI模型不同，在之前的模型中，角态的能量受边界（Phys.Rev.B.,()）或者chiralsymmetry（Phys.Rev.Appl.14,()）的影响。在这个模型中，零维态的频率没有受对称性保护，完全是参数空间下可操控的。

图3.应用1：拓扑保护的连续体态中的边界态。

由于该研究提出的HOTI模型不具备通常意义的镜像或者空间反演对称性，因此不能用极化或者WannierCenter来描述。该模型的拓扑保护属于Z类，有别于Z2类下拓扑边界态的有或者无，其陈绝缘体的特征暗示了其态的个数也是理论上没有限制的。图（4）展示了我们可以调控系统的调制频率（系统的一个新的参数，与之前参数空间的参数不同）使得系统在同一个参数空间坐标下有多个零维态局域。

图4.应用2：多个拓扑保护的零维态可出现在同一个角落。

总结

本研究工作提出的利用四维拓扑操控实空间边界态的方案，证明了高维拓扑研究大有可为，同时该工作为波的局域化也提供了新的思路，具有潜在的应用价值。