不失一般性，假设晶格在x方向长度为L，则x=0和x=L处将各出现一支边缘态。由于y方向仍具有良好的周期性，因此可定义一维傅里叶变换

其中，(x,y)是格点坐标，Ly是y方向的周期。哈密顿量式(44)取

对y方向做傅里叶变换有

材料领域近年来的一个重要方向是高陈数磁

小，因此制造高陈数拓扑器件具有极高的理论和实用价值。北京大学王健课题组近期在研究上取得了突破，在MnBi2Te4器件中发现了非朗道能级引起的高陈数和高温量子霍尔效应，在液氦温度以上观测到具有多个无耗散手性边界态的陈绝缘体态[20]。

人们期待实现室温下的陈绝缘体态或量子反常霍尔效应，在真正意义上构筑无能量耗散的信息高速公路。

2.4三维拓扑绝缘体

三维拓扑绝缘体领域也取得了重要的进展。年三个课题组独立发现三维的量子自旋霍尔绝缘体具有自然一般化的拓扑特性[21-23]，首次用“拓扑绝缘体”这个词来描述该电子态[22]；付亮等人建立起三维体拓扑序与独特的二维导电表面态之间的联系，随后预言在一些真实的物质中会存在这种电子态[21]。

实验上，年报告了第一款三维拓扑绝缘体Bix-1Sbx的发现过程[24]。利用角分辨光电子能谱（ARPES）测定了它的表面能带图谱，发现其表面结构比较复杂且能隙较小[25]这促使人们寻找有大能隙和简单表面光谱结构的第二代三维拓扑绝缘体材料。同年，实验分析和理论计算表明Bi2Se3亦是一款三维拓扑绝缘体，其表面有单独的狄拉克锥[26]。与此同时，中科院物理所/北京凝聚态国家实验室斯坦福大学联合课题组合作完成了相应的理论工作，指出不仅Bi2Se3，类似的Bi2Te3和Sb2Te3也是三维拓扑绝缘体，并且Bi2Se3系列更可能在实验中成为比Bix-1Sbx更好的参考材料[27]。

Bi2Se3族的非平庸拓扑性来自不同宇称的两轨道之间的能带反转，由Bi和Se中较强的自旋轨道耦合导致。需要说明，Bi2Se3、Bi2Te3和Sb2Te3只在Γ点处有能带反转，因而是较强的拓扑绝缘体。这里“强”和“弱”只是理论上的一种区分，并不代表实际应用中电流的强弱。实际上，弱拓扑绝缘体是二维拓扑绝缘体沿层间方向的叠加，本质上仍是二维拓扑绝缘体。其上的自旋电流被限制在材料的侧表面并沿一个方向传播，电流和自旋的方向锁定，保证它不会被非磁性的杂质散射，因此不会出现能量损耗，非常适合于自旋电子学器件。而强拓扑绝缘体在任意表面都具有自旋分辨的狄拉克锥，会产生各个方向的自旋电流；其中一部分会发生散射，造成能量损耗。如果材料表面态只包含一个狄拉克锥，则被称为最简单的强拓扑绝缘体，其简单性为理论研究提供了很好的平台。以Bi2Se3为例，其拓扑性质由Γ点附近的电子结构决定，可以构造一个以(

P1+z,↑〉,

P2-z,↑〉,

P1+z,↓〉,

P2-z,↓〉)为基矢的有效哈密顿量HTI来描述系统的低能长波特性。根据Bi2Se3晶体所具有的时间反演、中心反射和关于z轴的C3点群对称性，当保留到k的二次项时，可以得到相应的HTI[27,28]

过有效哈密顿量的能谱和第一性原理计算的能谱进行参数拟合得到。在扣除常规项ε0(k)I后相当于一个沿z方向的单轴各向异性的四分量旋量狄拉克模型。将式(59)对角化，可以得到Bi2Se3在Γ点附近的色散关系

其中，±分别对应导带和价带。不计常规项ε0(k)，式(60)是相对论性粒子的色散关系在三维空间的推广。这里z方向的速度与xy平面内的速度不相等，且质量项M(k)与动量相关。通过比较

sgn(M/B1,2)0，的确是拓扑绝缘体[28]。

三维拓扑绝缘体最重要的性质是存在受拓扑保护的二维无能隙表面态。利用上面给出的有效模型哈密顿量式(59)，设z0的半空间为拓扑绝缘体，仿照二维拓扑绝缘体边缘态的求法，可得三维拓扑绝缘体的二维表面态的有效哈密顿量[27,28]

所示，和碳单层在K和K′谷的狄拉克锥相似。但是拓扑绝缘体的表面态和碳单层或其他二维狄拉克系统有重要区别：碳单层有四个狄拉克锥，来源于自旋和能带低谷的简并。另外，纯粹的二维狄拉克系统在保持时间反演不变下一般有偶数个狄拉克锥，但时间反演不变的奇数个狄拉克锥只存在于三维拓扑绝缘体的表面。具有螺旋自旋结构的表面态是三维拓扑绝缘体的标志。拓扑绝缘体的体态和表面态如图12所示。

3拓扑半金属

半金属的概念是从能带论角度观察的产物，如图13所示：

○金属态，导带与价带完全相连，无带隙；

○绝缘态，导带与价带之间带隙较大；

○半导体，导带与价带带隙较小；

○半金属，处于导体和半导体之间。虽无带隙，但是导带与价带的连接不如金属态紧密，只在一些特定位置接触。

根据导带与价带接触位置的形态，半金属可分为两大类：

○点接触，称为点半金属：包括狄拉克半金属和外尔（Weyl）半金属；

○线接触，称为节线半金属：接触线有节线、节环（NodalRing）、节结（NodalKnot）等不同名称。

半金属的能带交叉简并点位于费米面上，其电子结构可以导致非平庸的拓扑学行为。以下的讨论详见[28]。

3.1三种费米子：狄拉克，外尔和马约拉纳

在粒子物理标准模型中，因受洛伦兹（Lorentz）协变性限制，只存在三种类型的费米子：

○狄拉克费米子：质量非零，电荷非零；

○外尔费米子：质量为零，电荷非零；

○马约拉纳费米子：质量非零，电荷为零，且正粒子同时也是自己的反粒子。

自由空间中是否存在外尔和马约拉纳费米子，在粒子物理领域至今尚无实验确证；但在凝聚态物理学特别是拓扑新材料领域，由于可以产生等效的狄拉克方程、外尔方程和马约拉纳方程，就可为研究这三类费米子提供恰当的舞台。

特别指出，上述三种费米子究其根源都是狄拉克方程的解，之所以不同乃是源于γ-矩阵（数学上讲是克利福德代数

的元素）取了不同的矩阵表示(这里需要解释：物理规律反映现实世界，用不同数学工具的表达之下呈现不同的样貌。用分析工具处理，就是微分方程；用代数工具，就是某种代数关系（比如某种对易关系）。在代数语境下求某种代数的表示，就相当于在分析的语境下求解微分方程。这就不难理解，对γ-矩阵取不同的表示，意味着讨论不同类型解的性质。)。

下面先按量子电动力学（QED）惯例给出这三个方程及其所对应的费米子，然后转到凝聚态物理学领域研究其具体实现。

1）狄拉克费米子

将狭义相对论的质能方程直接翻译到量子力

对γ-矩阵取不同表示将导致不同的费米子解。取狄拉克表示将导致狄拉克费米子

波函数是四分量旋量，分别代表狄拉克费米子的4重态：正粒子自旋上，正粒子自旋下，反粒子自旋上，反粒子自旋下。正粒子和反粒子处于叠加态，不容易分开。

2）外尔费米子

对γ-矩阵取外尔表示（手征表示）

m=0即无质量费米子情况，方程中的矩阵就变成完全非对角（即对角元为零），有

（①一般物理上取时空为赝欧的闵可夫斯基(Minkowski)空间,那么狄拉克方程的符号差(signature)是1,1,1,-1,群对称性是SO(3,1)。为看清本质,可进一步简化问题,考虑SO(4)。从群论角度看SO(4)有直和分解SO(4)=SU(2)+⊕SU(2)-,其中SU(2)±是两个SU(2)子空间。这一事实和外尔的分解思想相容。）

显然这个方程的解有一个新奇的性质，+=-，也即是说对这类费米子来说，“正粒子的反粒子就是其自身”。这类费米子称为马约拉纳费米子。

由于正、反粒子相同，所以它只有常规狄拉克费米子（如电子）的一半自由度；从而在适当的场合，一个电子可能被劈裂为两个马约拉纳费米子。

3.2在凝聚态物理领域找寻外尔、马约拉纳费米子；外尔半金属

多年以来粒子物理实验一直未能观测到外尔费米子，因此人们期待其他领域能够提供新的思路和观测途径。年贝利（Berry）指出[30]，晶格动量空间中的能级交叉点是由贝利曲率定义的规范场的磁单极子。其磁荷就是通过包裹该能级交叉点的费米面的磁通量子数，而在交叉点附近〖HJ46x〗电子的低能激发就是外尔费米子，不同磁荷对应着不同的手征性。进一步，如果找到一类特别的金属，其低能电子激发行为可用两分量狄拉克方程即外尔方程来描述，则这样的材料就可称为外尔半金属。它虽然没有能隙，但仍然具有拓扑非平庸行为，同时线性色散关系具有相对论性电子体系的特征。外尔半金属中的低能激发是外尔费米子，有两个重要性质：手征反常和负磁致电阻。

零质量狄拉克费米子可当成一对手征相反的外尔费米子的叠加，狄拉克情形可以破缺（塌缩）到外尔情形，如图14所示。外尔半金属的能带结构中存在导带与价带的交点，称为外尔节点（node）或外尔点，是由能级的偶然简并所形成。与二维的碳单层有所不同，在三维空间中，外尔点属于一种非常稳定的拓扑结构，不会因为受到微扰而打开能隙。外尔点一般位于费米面上，费米面缩小为费米点，能隙为零，具有线性色散关系。但其表面能带结构的费米面不闭合，是开放的一段弧线，称为费米弧（arc），相当于连接两个手征相反的外尔点在表面的投影如图14（b）。其中选择K0为截面是为了制造边界，费米弧只存在于边界上。

理论计算表明，烧绿石结构的铱氧化物如Y2Ir2O7和铁磁尖晶石HgCr2Se4可能是磁性外尔半金属[31,32]：时间反演对称性破缺，空间反射对称性保持，从而手征相反的外尔费米子不再重叠。理论上，二者均可用三维空间中的两带模型描述，其哈密顿量为[33]

其中，σ按照角动量变换，因此哈密顿量对空间反射不变，但保持时间反演对称性。

是能隙关闭的节点，来源于拓扑性。当E=0（即能隙为0）时，由两带模型

此即上文所提到的成对的外尔节点，如图15所示。外尔点具有较强的稳定性，可以受扰而移动，但无法通过引入质量项或微扰打开能隙。当两个外尔点相遇时，将形成一个需要晶体对称性保护的狄拉克点。可以说，当一个左手和一个右手外尔点在动量空间重合时，就会“还原”为一个三维狄拉克点，所组成的材料即狄拉克半金属。

描写无质量但有手征性的费米子。粒子速度υ=±cσ与自旋同向或反向。在三维晶格模型中，外尔点总是按照左手或者右手成对出现，分别对应于哈密顿量中的±号。

一般地，在外尔点附近哈密顿量可以写成粒子物理中外尔费米子的更一般形式

其中，vij是带有速度量纲的3×3矩阵，ki是相对于外尔点的动量，σi是泡利矩阵。外尔点由手征量子数χ=sgn［det(vij)］表征。其物理意义是在Bloch能带中电子所感受到的等效的矢量势（贝利

该积分区域是包围外尔点的任何费米面，面元dS(k)的指向定义为离开占据态的方向，B(k)相当于动量空间中的磁场。上式显示：一个外尔点的行为就像动量空间中的磁单极，其磁荷就等于它的手征量。

3.3节线（Nodalline）半金属

节线半金属在年由首次提出[34]，特点是在三维动量空间中，价带和导带接触的部分不是孤立的零维点，而是连续的一维曲线，如图16(a)所示。其存在受对称性保护；相应地，存在受拓扑保护的、平坦的二维“鼓面”状表面态，后者具有异常大的表面态密度。由于对称性破缺，节线处的能隙会完全打开，或变成独立的能带简并点。节线在布里渊区内可以形成多种拓扑结构，如简单的独立闭环，多个环相互交叠、嵌套形成的链环等，如图16(b)所示。

年，中科院物理所北理工日本东京大学联合课题组利用高分辨ARPES测量结合理论计算，发现单层Cu2Si薄膜中存在节线半金属费米子[35]。该结果不仅将节线半金属的概念由三维拓展至二维，同时为实现纳米尺度的新型拓扑量子器件提供了一种新的可能途径。此外，已有论文预言Cu2Ge、Fe2Ge和Fe2Sn二维体系能够稳定存在[36]。Cu2Ge基态下展现无磁的特性，在镜面对称性的保护下出现节线；但自旋轨道耦合作用会导致其打开能隙，节线消失。铁原子能够赋予体系铁磁性，破缺时间反演对称性；即使存在自旋轨道耦合作用，Fe2Sn体系中节线也能稳定存在，并受镜面对称性的保护。因此Fe2Ge和Fe2Sn单层拓扑结构有望成为未来自旋电子学器件的候选者。

以下给出一些理论方面的讨论。节线由相邻的两个能带接触形成，故可在两带模型式(1)的框架下研究[37]。为简单起见取ε=0，同时PT对称性

该模型中的节线为两个圆环，分别满足

二者的相对位置随m0的改变发生变化，如图17所示。当m0=2.5时该模型具有的平坦二维“鼓面”状表面态[37]。

4结语

本专题的目的是为学有余力的本科生和低年级研究生搭建一座桥梁，连接起大学物理和当前低维拓扑新材料研究的前沿，帮助其进入量子霍尔效应这个凝聚态物理的热点方向。我们鼓励学生灵活运用学过的电动力学、量子力学、固体物理知识，拓宽视野，探索课堂以外的新领域。

本文是专题的第二篇。第一部分从石墨烯晶格结构中导出了(2+1)维狄拉克方程，相当于建立起一种低速“量子电动力学”。真实粒子物理中不易观测到的现象（如势垒穿透、抖动效应等）在该体系下的观测难度就会大大降低。在石墨烯晶格中加入周期性磁通，时间反演对称性发生破缺，即可实现量子反常霍尔效应。此外，石墨烯具有良好的热学、光学、力学性质，有望成为新的量子材料研究领域。理论基础方面，在蜂窝状六角晶格中推导出第一篇中给出的两带模型，这提供了该模型的第一个范例。

第二部分在方晶格中导出了两带模型，给出第二个范例。过程中展示了内部具有能隙、但拓扑非平庸的能带结构所导致的无能隙边缘态，从而帮助读者加深对量子反常霍尔效应的理解。其中自旋轨道耦合的写法、紧束缚模型的处理、傅里叶变换、边缘态的计算等都值得

转载请注明:http://www.aideyishus.com/lkcf/8407.html