Part1
拓扑绝缘体是一种不同于金属和绝缘体的全新的物态，它最直观的性质就是其内部为绝缘体，而表面却能导电。就像是一个绝缘的瓷器碗，镀了金之后，便具有了表面的导电性。不过，我们之后会了解到，这是两种本质上完全不同的表面导电。镀金碗表面的导电性，对瓷器来说是外加的，将随着镀层的损坏而消失。而拓扑绝缘体的表面导电是源自绝缘体的内禀性质，杂质和缺陷都不会影响它。
广义而言，前面介绍过的量子霍尔效应所对应的物态，就是二维的拓扑绝缘体。大家还记得第27节中曾经提到过整数量子霍尔效应的边缘导电性，我们可以从电子的经典运动图像来理解它：位于二维电子气中间部分的电子，大多数处于局域态而作回旋运动，只有边界上的电子，它们不能形成完整的回旋，最终只朝一个方向前进，从而形成了边界电流。
从图30.1a所示的电子运动经典图像，还可以看出电子回旋运动的方向是与外磁场的方向密切相关的，并由此而造成了边界电流的手征性。手征性的概念与机械中螺纹的方向是左旋还是右旋类似，在经典电磁学中则对应于右手定则确定的磁场中电子的运动方向。尽管图30.1a中使用右手定则而得出的边界电流方向是来自于经典理论，但与量子力学预言的结果是一致的。
从量子理论的计算还可以证明，这个边界电流是因为其边缘存在无耗散的一维导电通道而形成，这种一维边界量子态通道模式的数目就是整数量子霍尔效应的朗道能级填充因子n。而同时，这个n又与哈密顿量参数空间，或者动量空间的拓扑性质有关。在上一节中我们曾经提及，n其实就是这个动量状态空间的被称为“第一陈数”的拓扑不变量。那么，也就是说，IQHE中边界电流的性质是由物质结构动量空间的拓扑性质所决定的。这句话是什么意思呢？它的意思是说，边界电流的性质，包括无耗散、手征性、电流方向等等，不会轻易改变，除非发生了量子相变，使得动量空间的拓扑性质有所改变。这也就是通常相关文献上所谓“边界电流受拓扑保护”的意思。
图30.1：量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应的边缘电流
随着对量子霍尔效应的理解逐渐深化，人们意识到其边界电流的特殊性。特别是无耗散这点，当然更是吸引着被“摩尔定律即将终结”所困惑着的科学家和工程研究人员们。
摩尔定律的终结归根结底是由于电流在尺寸太小的半导体器件中的发热和损耗。从经典热力学的观点来看，封闭系统中的运动总是从有序到无序，熵总是不断增加。电路中电子的有序运动最终将转换成无规的热运动而耗散掉。要想延缓摩尔定律，必须尽可能地减少电路中的发热和损耗。这方面，微观世界里的奇特现象也许能给我们一些启迪。比如说，带负电的电子绕着带正电的原子核旋转，从经典理论看，它应该发射电磁波损耗能量而终止运动。但事实情况并不如此，电子的绕核运动是没有损耗的，它们可以永远地转下去。那么，是否可能让我们利用一点这种微观运动的特殊优势，来解决我们宏观世界中“摩尔定律即将终结”的倒霉命运呢？
量子霍尔效应的边缘电流便具有无耗散的性质，如果能对此加以利用就好了。几十年前，冯?克利青在研究MOSFET材料时，发现了这种奇特的效应，如今是否能将这种效应改进推广，再返回来应用到电子工业中造福人类呢？
实际应用量子霍尔效应的困难是在于它需要一个十分强大的磁场。但是，在霍尔效应的经典家族成员中，也有两个成员是不需要外加磁场的，其一就是霍尔自己在发现正常霍尔效应三年之后在铁磁物质中观察到的反常霍尔效应；其二则是很早就被理论预言，但直到年才被实验证实的自旋霍尔效应。既然已经有了这两种不需要磁场的经典成员，就也应该有可能观察到它们的量子对应物：量子反常霍尔效应和量子自旋霍尔效应。或者说，我们有可能在实验室里制造出一些全新的物态来：量子反常霍尔态和量子自旋霍尔态。
年，美国普林斯顿大学的物理学家霍尔丹（F.D.M.Haldane），第一个预期了没有磁场的量子霍尔效应。
量子新物态的构想令人兴奋，特别是其中的量子自旋霍尔态，不是正好也能用上电子自旋这个自由度，与近年来方兴未艾的自旋电子学联系起来吗。
如何才能得到量子自旋霍尔态呢？在这个研究方向上，分别有两位物理学家独立地作出了二维量子自旋霍尔态的理论预言。一是美国宾州大学的查尔斯·凯恩（Kane）教授，他采用了霍尔丹年提出的模型，于年第一个在理论上设想了量子自旋霍尔态，并认为这种效应有可能在单层石墨烯样品中得以实现。另一位就是美籍华裔科学家，斯坦福大学的张守晟教授，他在年提出在HgTe/CdTe量子阱体系中，由于该物质存在一种“能带反转”，有可能实现量子自旋霍尔效应。
量子自旋霍尔效应，如图30.1b所示，不需要外加磁场。当自旋和轨道的相互耦合作用足够大的时候，可以代替外磁场的作用，产生边缘电流。但是，由于电子自旋有两种：自旋上和自旋下，它们与轨道的耦合作用正好产生两股方向相反的电流。如果材料中两种自旋电子的密度相同的话，两种自旋流的电荷效应互相抵消，总电流为0，但总自旋流却不会为0。这样，利用以前我们介绍过的自旋电子学器件，便可能在给定的方向上，得到我们所需要的自旋流，并将其应用于电路中。
后来的研究工作表明，石墨烯中的自旋轨道耦合作用很小，因此很难观测到量子化的自旋霍尔效应。而张守晟所预言的HgTe/CdTe量子阱体系中的量子自旋霍尔效应，很快便被德国Molenkamp研究团队的实验所证实。
如何从拓扑的角度来看待上面所述的二维量子自旋霍尔态呢？
拓扑绝缘体所提及的拓扑，与材料本身在真实空间的拓扑形状是完全无关的。这点大家早就知道了，只不过在此重新强调而引起重视而已。当我们只涉及单电子图像、不考虑多体运动时（比如，将分数量子霍尔效应除外），仍然可以用能带理论来解释拓扑绝缘体。如果从能带论出发而谈及的拓扑，则指的是材料在布里渊区域中与能带结构有关的拓扑结构。
图30.2：石墨烯的晶格结构及能带结构
理论物理学家为什么首先想到在石墨烯中寻找量子自旋霍尔态呢？应该是石墨烯的特殊能带结构启发了他们的思维。凯恩当初也就是在石墨烯的霍尔丹模型基础上，提出量子自旋霍尔态的。
石墨烯可算是一种最薄的晶体材料，因为它只由一层碳原子组成（见图30.2a）。
早在年，加拿大理论物理学家P.R.Wallace，就从理论上研究了石墨烯的能带结构。但是，长久以来，人们从热力学的观点认为这种单层二维的晶体结构不稳定，因而现实中不可能存在。
不过，真实情况却往往出乎人们的意料之外。年，曼切斯特大学的两位物理学家：AndreGeim和KonstantinNovoselov，成功地用一种初看起来似乎有些幼稚可笑的方法，在实验室里得到了稳定的石墨烯！他们的方法再简单不过，听起来好像小学生都会做，就是把层状石墨（构成铅笔芯的物质）在胶带上反复地撕开和粘贴，如此往复循环，便能使石墨样品的层数不断地减少，最后达到的极限便是只有一层原子的石墨烯。因为此项贡献，两位物理学家得到了年的诺贝尔物理奖。
石墨烯的能带结构很特别（图30.2b），尤其是它在6个对称的K和K’点附近的锥形结构。正是它们造就了石墨烯非同寻常的电学物理性质。
从图30.2b右边放大了的锥形图可见，纯石墨烯能带中的导带和价带，还有费米能级，线性相交于一个点。这个点被称为“狄拉克点”。导带和价带则表现为上下对称的锥形，称之为“狄拉克锥”。
像石墨烯能带具有的这种“狄拉克点”是很特殊的。一般来说，电子的能带曲线，在导带底和价带顶处的形状，如图30.2c所示，是接近抛物线的。抛物线形状是因为电子具有非0的静止质量，对真空中的自由电子来说，能量E正比于动量k的平方。应用到晶格中的电子时，大多数情形仍然符合这个平方规律，只不过电子的质量应该代之以一个有效质量而已。为什么要用有效质量呢？因为电子是在晶格内运动，晶格对它的运动也许有阻碍，也许有帮助，有效质量便概括了晶格对电子运动的影响。在石墨烯的狄拉克点附近，能量动量间的平方规律没有了，导带和价带线性相交于一点，这说明能量E和动量k表现为线性依赖关系，无静止质量的光子的能量动量便是遵循这种线性关系。事实上，对石墨烯的研究证实，石墨烯中的电子在k=K附近的行为，的确表现为一种有效质量为0的狄拉克费米子行为。这时候，电子的运动不能用非相对论的薛定谔方程描述，而需要用量子电动力学的狄拉克方程来描述。这种无质量载流子的存在，使得石墨烯中的电子可以畅通地输运.因此，石墨烯具有比一般金属大得多的导电性。此外，电子极大的输运性也导致在室温下便能观察到石墨烯的量子霍尔效应。
参考资料：
F.D.M.Haldane，ModelforaquantumHalleffectwithoutLandaulevels:Condensed-matterrealizationoftheparityanomaly，PhysicalReviewLetters,Volume61,Issue18,October31,,pp.-
C.L.KaneandE.J.Mele.Quantumspinhalleffectingraphene.PhysicalReviewLetters,95(22):,November.
B.AndreiBernevigandShou-ChengZhang.Quantumspinhalleffect.PhysicalReviewLetters,96(10):,March.
Koenig,M.etal.QuantumspinhallinsulatorstateinHgTequantumwells.Science(),–().
Wallace,P.R.().TheBandStructureofGraphite.PhysicalReview71:–.
K.S.Novoselov,A.K.Geim,S.V.Morozov,D.Jiang,Y.Zhang,S.V.Dubonos,I.V.Grigorieva,A.A.Firsov,Science,,()。
Part2
上节中介绍的石墨烯，由于它独特的物理性质而引起了人们的兴趣。它的无质量的相对论性准粒子，被观察到的整数及分数量子霍尔效应，为基础物理研究的许多方面，提供了理论模型和实验依据。它优异的电子输运性质，又使其在自旋电子学等工程领域可能得到广泛的实际应用。
图31.1列出了石墨烯及量子霍尔态等几种物态在费米能级附近的能带图。
从图31.1中的（a）和（b），我们可以看到双层和单层碳原子结构能带形状的不同。前者是抛物线型接触，而后者是线性的。（必须提醒注意的是，我们所说的这两种石墨烯能带图都是指在二维空间中能无限延伸的理想晶体之能带图。）
那么，量子霍尔态的能带形状又如何呢？
图31.1：两种石墨烯及量子霍尔态等能带图之比较
图31.1c是量子霍尔态的能带示意图。它的导带及价带在费米能级附近的形状，接近抛物线，类似于普通绝缘体。但是，我们在上一节中也说过，量子霍尔态体内虽然是绝缘体，但它们由于边缘态的存在而导电。在图中，量子霍尔态的边缘态是一条连接导带和价带的直线。因此，量子霍尔态在低能态附近的行为，和石墨烯相仿，能量和动量的关系也是线性的，也存在无质量的相对论性准粒子。
因为量子霍尔态的实现需要强大的外磁场，由此人们将兴趣转向不需要磁场的量子自旋霍尔效应，并且在实验室里已经多次观察到了此种现象。对量子自旋霍尔态而言，不同的自旋有不同的边界态，因此，在图31.1d所示的自旋霍尔态能带图中，有两条直线连接导带和价带，它们分别对应于自旋上和自旋下的边缘电流。这种情形下的能带图，看起来与理想石墨烯的能带图更为类似了。
普通的绝缘体，也可能产生边缘态而形成边缘导电，但却和前面两种情形下的边缘态有本质的区别。图31.1e画出了普通绝缘体的能带。图中的边缘态曲线与费米能级相交，意味着在此绝缘体中可以存在边缘电流。
再仔细对照一下c、d、e三个图边界态的异同点便不难发现，即使从这三个简单图中，也可以看出一点刚才所谓的“本质区别”来：普通绝缘体的那个边缘态的导电性是不稳定的：系统的缓慢连续变化可以使导电性增加或消失。比如说，在缓慢变化下，这个边缘态可以降低到与价带相交而增加导电性，但也可能渐渐升高而脱离费米能级线，最后被归类到导带中，而使得边缘失去导电性。但是，图c和图d所示两种量子效应下的边缘态，却是一条直线，直通通的从上到下，将导带和价带绑到一起，这个连接方式不会因为系统的缓慢连续变化而改变。或者说，图c或d，与e的不同之处，可以用一句话概括：边缘态的拓扑结构不同。图e所示边缘态的拓扑结构是平庸的，而图c或d的边缘态则非平庸，其导电性能受其拓扑性质所保护，这一类的量子物态，便被称为“拓扑绝缘体”，以区别于平庸的普通绝缘体。真空属于普通绝缘体。
前面的叙述中，为什么总是要加上一句“系统缓慢连续变化”呢？这句话的意思，在数学上是为了保证系统的拓扑性质不变，在物理上则是保证系统不发生量子相变。比如说：一坨类似球形的面团，如果被你缓慢连续地揉来揉去，仍然是类球形的一坨面。但如果你把它从中间挖了一个洞，那就不是保持拓扑性质不变的“缓慢连续”变化，而是“相变”了。
刚才是用简单的图像来说明拓扑绝缘体与普通绝缘体的基本不同点。现在让我们在这条路上走得更远一些。其实，图c、d、e中边界态的拓扑性质只是表面现象，并不足以解释拓扑绝缘体的本质，边界态表现不同的更深层原因，是由于体材料能带拓扑的不同。
当两个拓扑特征不同的绝缘体放在一起，就会产生导电的边界态。界面变成金属性，才能实现两种拓扑特征的连续变化。
既然是用拓扑性质来区分量子态，那么，便需要找一个拓扑不变量来表征不同的态。这个拓扑不变量通常对应于参数空间中不可积的贝里相位，贝里积分是在体材料的动量空间中进行，与边缘态无关。由此再次证明，是体材料的能带拓扑结构决定了边缘态的拓扑结构，从而才又决定了拓扑绝缘体的那种“被拓扑保护、不受杂质和缺陷干扰”的边缘导电性。
对整数量子霍尔态而言，这个拓扑不变量就是在动量空间计算出来的“第一陈数”，它同时也等于与经典朗道能级有关的填充因子n。朗道能级是由外磁场而产生的，所以，正如我们从描述整数量子霍尔效应的电阻平台示意图所见，实验中观察到的n与外磁场强度有关。但是，在量子自旋霍尔效应中，外磁场强度等于0。也就是说，量子自旋霍尔效应的n值只能为0，换言之，不能再用第一陈数来表征量子自旋霍尔态了。
那么，有什么其它的不变量，能用来表征量子自旋霍尔态呢？
量子自旋霍尔态的特点是不存在外加磁场，因而，在一定的条件下可以具有时间反演对称性。“时间反演”，什么意思？顾名思义嘛，那就是将时间的流逝方向反过来。当然，真实的世界中时间是不会倒流的，但是电影技术为我们提供了一个用想象来检验时间反演特性的最佳场所。如果将一个个的电影画面反过来放，就能模拟时间反演的过程。从倒放的电影中我们会发现：有些东西（物理量）是正放反放不变的，而有些是改变的。比如说，我们考虑电磁场中的运动电子所涉及的几个物理量：位置将不受时光倒流的影响，但速度要反向；电子的电荷是时间反演不变的，但因为速度反过来了，所以电流要反向；电场强度E是时间反演不变的，而磁场B要反向。磁场反向的原因是因为磁场是由电流产生的，时间倒过来时，电流反向了，因而磁场也反向了。
由上可知，磁场不是时间反演不变的。量子自旋霍尔态没有磁场，因而便有可能保持系统的时间反演对称性。或许可以利用这点来找出表征量子自旋霍尔态的守恒量？
相关于时间反演不变性，KaneandMele提出用Z2不变量来区别拓扑绝缘体和普通绝缘体（Z2是指有两个元素的循环群）。在他们的模型中，将自旋霍尔态看成两个（自旋上和自旋下）边缘电流方向相反的整数霍尔态的合成，见图31.2。
图31.2：自旋下的IQHE加自旋上的IQHE等于QSH
两个整数量子霍尔态相加，外磁场互相抵消了，剩下两个方向相反的自旋流，表现为量子自旋霍尔态。这两个IQHE，可以分别用自旋陈数n上（自旋上）和n下（自旋下）来表征。Kane等人证明，时间反演对称性要求：n上+n下=0，所以，总陈数为零。但是，
nS=（n上-n下）/2
不会等于0。并且，他们还证明，可以用nS的奇偶性来描述合成量子态的非平庸性：当nS为奇数时，系统是非平庸的拓扑绝缘体；当nS为偶数时，系统是平庸的普通绝缘体。
因此，类似于IQHE中的陈数n，定义一个Z2拓扑不变量n=nSmod（2）。不变量n便可以用来表征二维拓扑绝缘体。这个概念还可以扩展到三维的拓扑绝缘体，即用4个Z2不变量来表征三维拓扑绝缘体。
与文小刚提出的属于长程整体纠缠的拓扑序概念不同，拓扑绝缘体和量子自旋霍尔态是属于更局域的短程量子纠缠态。它们也可以看作是被某种对称性所保护的拓扑序的例子：拓扑绝缘体被电荷守恒和时间反演所保护；而量子自旋霍尔态则被电荷守恒和z方向自旋守恒所保护。
前面讨论的量子自旋霍尔态，是假设材料中两种自旋的密度在费米能级附近是相等的。反之，如果某一个方向的自旋被抑制，比如说，在某种材料中掺入某种铁磁性杂质，这样，就将破坏时间反演对称性，并有可能得到另外一种也不需要强大外加磁场的量子物态：量子反常霍尔效应。
刚才几句话说起来容易，实现起来却是非常困难。中国科学院院士薛其坤带领的团队，年在世界上首次发现了量子反常霍尔效应。对此我们不再作更多的介绍，请见参考资料。
拓扑绝缘体及各种量子物态拓扑分类的理论中，仍有许多尚待解决的问题。这其中涉及的概念，既关联到基础物理思想，也包括不同领域的数学理论。总之，大门已经敞开，理论还需完善，精度日益提高的实验技术，也将供给我们越来越精确的数据。随着越来越多的不同量子态被研究、被发现，物理学必将继续造福文明社会。
参考资料：
C.L.KaneandE.J.Mele，Z2TopologicalOrderandtheQuantumSpinHallEffect，Phys.Rev.Lett.95,()。
余睿、方忠、戴希，Z2拓扑不变量与拓扑绝缘体，《物理》年第7期-页
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